Mathématiques de base Exemples

$\frac{\frac{15}{16 - a} + \frac{16}{a - 16}}{\frac{7}{a} + \frac{9}{a - 16}}$

Étape 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(16 - a) (a - 16) a$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{15}{16 - a} + \frac{16}{a - 16}}{\frac{7}{a} + \frac{9}{a - 16}}$ par $\frac{(16 - a) (a - 16) a}{(16 - a) (a - 16) a}$ .

$\frac{(16 - a) (a - 16) a}{(16 - a) (a - 16) a} \cdot \frac{\frac{15}{16 - a} + \frac{16}{a - 16}}{\frac{7}{a} + \frac{9}{a - 16}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{(16 - a) (a - 16) a (\frac{15}{16 - a} + \frac{16}{a - 16})}{(16 - a) (a - 16) a (\frac{7}{a} + \frac{9}{a - 16})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(16 - a) (a - 16) a \frac{15}{16 - a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $16 - a$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $16 - a$ à partir de $(16 - a) (a - 16) a$ .

$\frac{(16 - a) ((a - 16) a) \frac{15}{16 - a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(16 - a) ((a - 16) a) \frac{15}{16 - a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) (a - 16) a \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $a - 16$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $a - 16$ à partir de $(16 - a) (a - 16) a$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (a - 16) ((16 - a) a) \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (a - 16) ((16 - a) a) \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $a$ à partir de $(16 - a) (a - 16) a$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{a ((16 - a) (a - 16)) \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{a ((16 - a) (a - 16)) \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{(16 - a) (a - 16) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.4

Réécrivez $16$ comme $- 1 (- 16)$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{(- 1 (- 16) - a) (a - 16) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{(- 1 (- 16) - (a)) (a - 16) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 16) - (a)$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 (- 16 + a) (a - 16) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 (a - 16) (a - 16) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.8

Élevez $a - 16$ à la puissance $1$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 ({(a - 16)}^{1} (a - 16)) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.9

Élevez $a - 16$ à la puissance $1$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 ({(a - 16)}^{1} {(a - 16)}^{1}) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 {(a - 16)}^{1 + 1} \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 {(a - 16)}^{2} \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.12

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.13

Annulez le facteur commun de $a - 16$ .

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Étape 3.13.1

Factorisez $a - 16$ à partir de $(16 - a) (a - 16) a$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (a - 16) ((16 - a) a) \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (a - 16) ((16 - a) a) \frac{9}{a - 16}}$

Étape 3.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $a$ à partir de $(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $a$ à partir de $(a - 16) a \cdot 15$ .

$\frac{a ((a - 16) \cdot 15) + (16 - a) a \cdot 16}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 4.1.2

Factorisez $a$ à partir de $(16 - a) a \cdot 16$ .

$\frac{a ((a - 16) \cdot 15) + a ((16 - a) \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 4.1.3

Factorisez $a$ à partir de $a ((a - 16) \cdot 15) + a ((16 - a) \cdot 16)$ .

$\frac{a ((a - 16) \cdot 15 + (16 - a) \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (a \cdot 15 - 16 \cdot 15 + (16 - a) \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 4.3

Déplacez $15$ à gauche de $a$ .

$\frac{a (15 \cdot a - 16 \cdot 15 + (16 - a) \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 4.4

Multipliez $- 16$ par $15$ .

$\frac{a (15 \cdot a - 240 + (16 - a) \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (15 a - 240 + 16 \cdot 16 - a \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 4.6

Multipliez $16$ par $16$ .

$\frac{a (15 a - 240 + 256 - a \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 4.7

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$\frac{a (15 a - 240 + 256 - 16 a)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 4.8

Soustrayez $16 a$ de $15 a$ .

$\frac{a (- a - 240 + 256)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 4.9

Additionnez $- 240$ et $256$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Réécrivez ${(a - 16)}^{2}$ comme $(a - 16) (a - 16)$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 ((a - 16) (a - 16)) + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 5.2

Développez $(a - 16) (a - 16)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a (a - 16) - 16 (a - 16)) + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a \cdot a + a \cdot - 16 - 16 (a - 16)) + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a \cdot a + a \cdot - 16 - 16 a - 16 \cdot - 16) + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a^{2} + a \cdot - 16 - 16 a - 16 \cdot - 16) + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 5.3.1.2

Déplacez $- 16$ à gauche de $a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a^{2} - 16 \cdot a - 16 a - 16 \cdot - 16) + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $- 16$ par $- 16$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a^{2} - 16 a - 16 a + 256) + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $16 a$ de $- 16 a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a^{2} - 32 a + 256) + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} - 7 (- 32 a) - 7 \cdot 256 + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Multipliez $- 32$ par $- 7$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 7 \cdot 256 + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 5.5.2

Multipliez $- 7$ par $256$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + (16 - a) a \cdot 9}$

Étape 5.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + (16 a - a \cdot a) \cdot 9}$

Étape 5.7

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.7.1

Déplacez $a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + (16 a - (a \cdot a)) \cdot 9}$

Étape 5.7.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + (16 a - a^{2}) \cdot 9}$

Étape 5.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + 16 a \cdot 9 - a^{2} \cdot 9}$

Étape 5.9

Multipliez $9$ par $16$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + 144 a - a^{2} \cdot 9}$

Étape 5.10

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + 144 a - 9 a^{2}}$

Étape 5.11

Soustrayez $9 a^{2}$ de $- 7 a^{2}$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 16 a^{2} + 224 a - 1792 + 144 a}$

Étape 5.12

Additionnez $224 a$ et $144 a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 16 a^{2} + 368 a - 1792}$

Étape 5.13

Réécrivez $- 16 a^{2} + 368 a - 1792$ en forme factorisée.

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Étape 5.13.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16 a^{2} + 368 a - 1792$ .

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Étape 5.13.1.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16 a^{2}$ .

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2}) + 368 a - 1792}$

Étape 5.13.1.2

Factorisez $16$ à partir de $368 a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2}) + 16 (23 a) - 1792}$

Étape 5.13.1.3

Factorisez $16$ à partir de $- 1792$ .

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2}) + 16 (23 a) + 16 (- 112)}$

Étape 5.13.1.4

Factorisez $16$ à partir de $16 (- a^{2}) + 16 (23 a)$ .

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2} + 23 a) + 16 (- 112)}$

Étape 5.13.1.5

Factorisez $16$ à partir de $16 (- a^{2} + 23 a) + 16 (- 112)$ .

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2} + 23 a - 112)}$

Étape 5.13.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.13.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 112 = 112$ et dont la somme est $b = 23$ .

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Étape 5.13.2.1.1

Factorisez $23$ à partir de $23 a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2} + 23 (a) - 112)}$

Étape 5.13.2.1.2

Réécrivez $23$ comme $7$ plus $16$

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2} + (7 + 16) a - 112)}$

Étape 5.13.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2} + 7 a + 16 a - 112)}$

Étape 5.13.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.13.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{a (- a + 16)}{16 ((- a^{2} + 7 a) + 16 a - 112)}$

Étape 5.13.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{a (- a + 16)}{16 (a (- a + 7) - 16 (- a + 7))}$

Étape 5.13.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- a + 7$ .

$\frac{a (- a + 16)}{16 ((- a + 7) (a - 16))}$

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $- a + 16$ et $a - 16$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$\frac{a (- (a) + 16)}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Étape 6.1.2

Réécrivez $16$ comme $- 1 (- 16)$ .

$\frac{a (- (a) - 1 (- 16))}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a) - 1 (- 16)$ .

$\frac{a (- (a - 16))}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- (a - 16)$ comme $- 1 (a - 16)$ .

$\frac{a (- 1 (a - 16))}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Étape 6.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{a (- 1 (a - 16))}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Étape 6.1.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{a \cdot (- 1)}{16 (- a + 7)}$

Étape 6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $a$ .

$\frac{- 1 \cdot a}{16 (- a + 7)}$

Étape 6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{a}{16 (- a + 7)}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$- \frac{a}{16 (- (a) + 7)}$

Étape 6.4

Réécrivez $7$ comme $- 1 (- 7)$ .

$- \frac{a}{16 (- (a) - 1 (- 7))}$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a) - 1 (- 7)$ .

$- \frac{a}{16 (- (a - 7))}$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.6.1

Réécrivez $- (a - 7)$ comme $- 1 (a - 7)$ .

$- \frac{a}{16 (- 1 (a - 7))}$

Étape 6.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{a}{16 (a - 7)}$

Étape 6.6.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{a}{16 (a - 7)}$

Étape 6.6.4

Multipliez $\frac{a}{16 (a - 7)}$ par $1$ .

$\frac{a}{16 (a - 7)}$